概率論與數理統計第四版課后答案

1.[一] 寫出下列隨機試驗的樣本空間

（1）記錄一個小班一次數學考試的平均分數（充以百分制記分）（[一] 1）

o1n?100?S???,???，n表小班人數

n??nn（3）生產產品直到得到10件正品，記錄生產產品的總件數。（[一] 2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）對某工廠出廠的產品進行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續查出二個次品就停止檢查，或檢查4個產品就停止檢查，記錄檢查的結果。

查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續出現兩個“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。 （[一] (3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 設A，B，C為三事件，用A，B，C的運算關系表示下列事件。 （1）A發生，B與C不發生。 表示為：

ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)

（2）A，B都發生，而C不發生。 表示為：

ABC或AB－ABC或AB－C

表示為：A+B+C

（3）A，B，C中至少有一個發生

（4）A，B，C都發生， 表示為：ABC

表示為：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不發生，

（6）A，B，C中不多于一個發生，即A，B，C中至少有兩個同時不發生 相當于AB,BC,AC中至少有一個發生。故 表示為：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二個發生。

相當于：A,B,C中至少有一個發生。故 表示為：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二個發生。

相當于：AB，BC，AC中至少有一個發生。故 表示為：AB+BC+AC

6.[三] 設A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否則AB = φ依互斥事件加法定理， P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (A∪B)≤1矛盾）.

從而由加法定理得

P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)

()

（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當AB=A，即A∩B時P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，

（2）從()式知，當A∪B=S時，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。

7.[四] 設A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一個發生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一個發生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=

315??0? 4888.[五] 在一標準英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞，若從26

個英語字母中任取兩個字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記A表“能排成上述單詞”

2∵ 從26個任選兩個來排列，排法有A26種。每種排法等可能。

字典中的二個不同字母組成的單詞：55個 ∴

P(A)?5511 ?2A261309. 在電話號碼薄中任取一個電話號碼，求后面四個數全不相同的概率。（設后面4個數中的每一個數都是等可能性地取自0，1，2??9）

記A表“后四個數全不同”

∵ 后四個數的排法有104種，每種排法等可能。

4后四個數全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六] 在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀念章，任意選3人記錄其紀念章的號碼。

（1）求最小的號碼為5的概率。

記“三人紀念章的最小號碼為5”為事件A

10?∵ 10人中任選3人為一組：選法有??3?種，且每種選法等可能。 ??5?又事件A相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼大于5。這種組合的種數有1???2? ??∴

5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的號碼為5的概率。

10?記“三人中最大的號碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有??3?種，且??

4?每種選法等可能，又事件B相當于：有一人號碼為5，其余2人號碼小于5，選法有1???2???種

4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七] 某油漆公司發出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運中所標箋脫落，交貨人隨意將這些標箋重新貼，問一個定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數得到定貨的概率是多少？

記所求事件為A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。

432?C4?C3取得4白3黑2紅的取法有C10

故

432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八] 在1500個產品中有400個次品，1100個正品，任意取200個。 （1）求恰有90個次品的概率。 記“恰有90個次品”為事件A

1500?∵ 在1500個產品中任取200個，取法有??200?種，每種取法等可能。

??400??1100?200個產品恰有90個次品，取法有??90??110?種

?????400??1100??90??110?????

P(A)??1500??200???∴

（2）至少有2個次品的概率。 記：A表“至少有2個次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個次品”，同上，200個產品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?種，200個產品含一個次品，取法有?1??199?種 ??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????

??1500???200?????13.[九] 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？ 記A表“4只全中至少有兩支配成一對” 則A表“4只人不配對”

10?∵ 從10只中任取4只，取法有??4?種，每種取法等可能。

??要4只都不配對，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一] 將三個球隨機地放入4個杯子中去，問杯子中球的最大個數分別是1，2，3，的概率各為多少？

記Ai表“杯中球的最大個數為i個” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。 (選排列：好比3個球在4個位置做排列)

P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3種。 對A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C3

2(從3個球中選2個球，選法有C3，再將此兩個球放入一個杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個杯中，選法有3種。

2C3?4?3P(A2)?43?9 16對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此

3個球，選法有4種)

P(A3)?41 ?316416.[十二] 50個鉚釘隨機地取來用在10個部件，其中有三個鉚釘強度太弱，每個部

件用3只鉚釘，若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上，則這個部件強度就太弱，問發生一個部件強度太弱的概率是多少？

記A表“10個部件中有一個部件強度太弱”。 法一：用古典概率作：

把隨機試驗E看作是用三個釘一組，三個釘一組去鉚完10個部件（在三個釘的一組中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序）

3333?C47?C44???C23對E：鉚法有C50種，每種裝法等可能

3333?C47?C44??C23對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔C3〕×10

種

3333[C3?C47?C44???C23]?10333C50?C47????C23P(A)??1?0.00051 1960法二：用古典概率作

把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計先后次序）

3對E：鉚法有A50種，每種鉚法等可能

對A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，?或“28，29，

327327327327?A47?A3?A47????A3?A47?10?A3?A4730”位置上。這種鉚法有A3種

32710?A3?A4730A50P(A)??1?0.00051 196017.[十三] 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,求P(B|A?B)。 解一：

P(A)?1?P(A)?0.7,P(B)?1?P(B)?0.6,A?AS?A(B?B)?AB?AB注意(AB)(AB)??. 故有

P (AB)=P (A)－P (AB)=0.7－0.5=0.2。 再由加法定理，

P (A∪B)= P (A)+ P (B)－P (AB)=0.7+0.6－0.5=0.8 于是P(B|A?B)?P[B(A?B)]P(AB)0.2???0.25

P(A?B)P(A?B)0.8解二:P(AB)?P(A)P(B|A)?由已知???05?07?P(B|A)?P(B|A)?0.5521??P(B|A)?　故　P(AB)?P(A)P(B|A)?0.77751P(BA?BB)P(BA)5P(B|A?B)定義???0.25P(A?B)P(A)?P(B)?P(AB)0.7?0.6?0.5

18.[十四] P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,求P(A?B)。 43211?定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件143?P(B)?1 ???????有?解：由P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6由乘法公式，得P(AB)?P(A)P(B|A)?1 121111??? 46123由加法公式，得P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

19.[十五] 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點數之和為7，求其中有一顆為1點的概率（用兩種方法）。

解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發生的概率）。

擲兩顆骰子的試驗結果為一有序數組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為

S={(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)} 每種結果（x, y）等可能。

A={擲二骰子，點數和為7時，其中有一顆為1點。故P(A)?21?} 63方法二：（用公式P(A|B)?P(AB) P(B)S={(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6}}每種結果均可能

A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個為“1”點”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則

P(B)?612， ?,P(AB)?2266622P(AB)216??? 故P(A|B)?P(B)163620.[十六] 據以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規律：P(A)=P{孩子得病}=0.6，P (B|A)=P{母親得病|孩子得病}=0.5，P (C|AB)=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P (ABC)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機事件，這里不是求P (C|AB)

P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (C|AB)=1－P (C |AB)=1－0.4=0.6. 從而P (ABC)= P (AB) ? P(C|AB)=0.3×0.6=0.18.

21.[十七] 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。

（1）二只都是正品（記為事件A）

法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個組合看作一個基本結果，每種取法等可能。

C8228P(A)?2??0.62

C1045法二：用排列做 在10只中任取兩個來排列，每一個排列看作一個基本結果，每個排列等可能。

2A82A10P(A)?

?28 45法三：用事件的運算和概率計算法則來作。 記A1，A2分別表第一、二次取得正品。

P(A)?P(A1A2)?P(A)P(A2|A1)?（2）二只都是次品（記為事件B）

8728 ??10945法一：P(B)?2C22C10?1 45法二：P(B)?2A22A10?1 45法三：

P(B)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?211 ??10945（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）

法一：P(C)?11C8?C22C10?16 45法二：P(C)?112(C8?C2)?A22A10?16 45

法三：

P(C)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?281682 ???10910945（4）第二次取出的是次品（記為事件D）

法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作，

法二：P(D)?11A9?A22A10?1 5法三：

P(D)?P(A1A2?A1A2)且A1A2與A1A2互斥

?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?82211???? 109109522.[十八] 某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而隨機的撥號，求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數字是奇數，那么此概率是多少？

記H表撥號不超過三次而能接通。 Ai表第i次撥號能接通。

注意：第一次撥號不通，第二撥號就不再撥這個號碼。

??H?A1?A1A2?A1A2A3　三種情況互斥P(H)?P(A1)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

?1919813??????10109109810如果已知最后一個數字是奇數（記為事件B）問題變為在B已發生的條件下，求H再發生的概率。

P(H|B)?PA1|B?A1A2|B?A1A2A3|B)

?P(A1|B)?P(A1|B)P(A2|BA1)?P(A1|B)P(A2|BA1)P(A3|BA1A2) ?1414313?????? 5545435

24.[十九] 設有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再從乙袋中任取一球，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三版19題(1)）

記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋” 再記B表“再從乙袋中取得白球”。 ∵ ∴

B=A1B+A2B且A1，A2互斥 P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)

=

nN?1mN ???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)

112C525C4?C47C5653?2???? ?2?

1199C911C911C9226.[二十一] 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1 A2=φ 由已知條件知P(A1)?P(A2)?由貝葉斯公式，有

1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25% 2?

15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202100P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000

[二十二] 一學生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次

P及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少

2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P (A1)=P (A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2（1）B={至少有一次及格}

}?A1A2 所以B?{兩次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1) ?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)] ?1?(1?P)(1?P31)?P?P2 222

（）

定義P(A1A2)（2）P(A1A2)

P(A2)由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?

P2?PP?222

將以上兩個結果代入（）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2P P?128.[二十五] 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：

到家時間 乘地鐵到 0.10 家的概率 乘汽車到 0.30 家的概率 某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。

解：設A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:45~5:49到家”，由題意,AB=φ,A∪B=S 已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5 由貝葉斯公式有

0.35 0.20 0.10 0.05 0.25 0.45 0.15 0.05 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 遲于5:54 P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四] 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2 Aj表示“第j箱產品” j=1,2，顯然A1∪A2=S （1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。 ?????0.4（B1= A1B +A2B由全概率公式解）

2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5 （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時，由全概率公式解） 32.[二十六（2）] 如圖1，2，3，4，5

1 L 3 2 R

表示繼電器接點，假設每一繼電器接點閉合的概率為p，且設各繼電器閉合與否相互獨立，求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個接點接通

記A表從L到R是構成通路的。

∵ A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

∴ P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)－P (A1A2A3A5)

+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)

+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5) + (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)－P (A1A2 A3 A4A5)

又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨立。 故

P (A)=p2+ p3+ p2+ p3－[p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4]

4

5

+[ p5 + p5+ p5+ p5]－p5=2 p2+ 3p3－5p4 +2 p5

[二十六（1）]設有4個獨立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯接，求系統的可靠性。

記Ai表示第i個元件正常工作，i=1，2，3，4，

2 1 4 3 A表示系統正常。

∵ A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥

(加法公式)

∴ P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)－P (A1A2A3 A4)

= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)－P (A1) P (A2)P (A3)P (A4) = P1P2P3+ P1P4－P1P2P3P4

(A1, A2, A3, A4獨立)

34.[三十一] 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？

解：設“出現r次國徽面”=Br “任取一只是正品”=A 由全概率公式，有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r ()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)? （條件概率定義與乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。

解：高Hi表示飛機被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三種情況互斥。 H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3 三種情況互斥 H3?B2B2B3

又 B1，B2，B2獨立。 ∴

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41 P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14